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是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹,也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1的常值的点之轨迹。它是圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。在方程上可以写为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,它还有其他一些表达形式,如参数方程表示等等。在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色,即行星轨道是,以恒星为焦点。

基本信息

中文名:

目前状况:使用中

外文名:oval-shaped

应用学科:数学、几何

几何类别:圆锥曲线

表达式:x?/a?+y?/b?=1

适用领域范围:几何计算

参数方程:x=acosθ,y=bsinθ

研究历史

阿波罗尼奥斯所着的八册《圆锥曲线论(conics)》中首次提出了今日大家熟知的ellip(抛物线)、(双曲线)等与圆锥截线有关的名词,可以说是古希腊几何学的精擘之作。

直到十六、十七世纪之交,开普勒(kepler)行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道,是一种以太阳为其一焦点的。

定义

第一定义

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平面内与两定点

的距离的和等于常数

)的动点p的轨迹叫做。

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即:

其中两定点

叫做的焦点,两焦点的距离

叫做的焦距。

为的动点。

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截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴,长为

截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴,长为

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可变为

第二定义

平面内到定点

(c,0)的距离和到定直线

不在

上)的距离之比为常数

(即离心率

,0a;1)的点的轨迹是。

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其中定点

为的焦点

,定直线

称为的准线(该定直线的方程是

(焦点在x轴上),或

(焦点在y轴上))。

其他定义

根据的一条重要性质:上的点与长轴两端点连线的斜率之积是定值,定值为

,可以得出:

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在坐标轴内,动点(

)到两定点(

)(

)的斜率乘积等于常数;0)

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注意:考虑到斜率为零时不满足乘积为常数,所以

无法取到,即该定义仅为去掉两个点的。

也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

方程

中心点为(h,k),主轴平行于x轴时,

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标准方程

正在加载f点在x轴

高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了,的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴。

的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴:

1)焦点在x轴时,标准方程为:x?/a?+y?/b?=1(aa;0)

2)焦点在y轴时,标准方程为:y?/a?+x?/b?=1(aa;0)

上任意一点到f1,f2距离的和为2a,f1,f2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。

又及:如果中心在原点,但焦点的位置不明确在x轴或y轴时,方程可设为;0,na≠n)。即标准方程的统一形式。

的面积是πab。可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ,y=bsinθ

标准形式的在(x0,y0)点的切线就是:xx/a?+yy/b?=1。切线的斜率是:-b?x/a?y,这个可以通过很复杂的代数计算得到。

参数方程

x=acosθ,y=bsinθ。

求解上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解

x=axcosβ,y=bxsinβa为长轴长的一半

极坐标

(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)

r=a(1-e?)/(1-ecosθ)

(e为的离心率=c/a)

几何性质

基本性质

1、范围:焦点在

轴上

;焦点在

轴上

2、对称性:关于x轴对称,y轴对称,关于原点中心对称。

3、顶点:(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)

4、离心率:

或e=√(1-b^2/a?)

5、离心率范围:0a;1

6、离心率越大就越扁,越小则越接近于圆。

7、焦点(当中心为原点时):(-c,0),(c,0)或(0,c),(0,-c)

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8、

(m为实数)为离心率相同的。

9、p为上的一点,a-c≤pf1(或pf2)≤a+c。

切线法线

定理1:设f1、f2为c的两个焦点,p为c上任意一点。若直线ab切c于点p,且a和b在直线上位于p的两侧,则∠apf1=∠bpf2。

定理2:设f1、f2为c的两个焦点,p为c上任意一点。若直线ab为c在p点的法线,则ab平分∠f1pf2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

光学性质

的面镜(以的长轴为轴,把转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空)可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处;的透镜(某些截面为)有汇聚光线的作用(也叫凸透镜),老花眼镜、放大镜和远视眼镜都


状态提示:椭圆
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